常见公式

一般公式分为两种形式，行内公式和行间公式。行内公式是在公式代码块的前后均添加一个$ ；行间公式则是在公式代码块的前后均添加两个$$ 。

数学算式：

1. 行内公式：$\Gamma (z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,.$

2. 行间公式：
   $$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,.$$ Markdown 公式：

$ \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,. $
$$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,.$$

公式排列：一般使用\binom{a}{b}或者{a \choose b}实现对$a , b$两个公式的排列。

数学算式：
$$\binom{n+1}{2k} $$

Markdown 公式：

$$\binom{n+1}{2k} $$

数学算式：
$${n+1 \choose 2k} $$

Markdown 公式：

$${n+1 \choose 2k} $$

# 向量公式

向量表示：  使用\mathbf{x}来表示向量$x$。

数学算式：
$$f(\mathbf{x})=\mathbf{w}^T\mathbf{x}$$ Markdown 公式：

$$f(\mathbf{x})=\mathbf{w}^T\mathbf{x}$$

# 分段函数

定义函数的时候经常需要分情况给出表达式，使用  {…。其中：
（1）使用\  来分隔分组；
（2）使用&  来指示需要对齐的位置；
（3）使用\ + 空格来表示空格；
（4）如果要使分类之间的垂直间隔变大，可以使用\[2ex]  代替\  来分隔不同的情况。（3ex,4ex  也可以用，1ex  相当于原始距离）。

数学算式：

分段函数
$$y=\begin{cases}-x,\quad x\leq 0\\x, \quad x>0\end{cases}\tag{1}$$

Markdown 公式：

# 分段函数
$$
y=
\begin{cases}
-x,\quad x\leq 0\\
x, \quad x>0
\end{cases}
\tag{1}
$$

方程组
$$\left\{ \begin{array}{c} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{array}\right. $$

# 方程组
$$
\left\{
\begin{array}{c}
    a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\
    a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\
    a_3x+b_3y+c_3z=d_3
\end{array}
\right.
$$

均方误差
$$J(\theta) = \frac{1}{2m}\sum_{i = 0} ^m(y^i - h_\theta (x^i))^2$$

# 均方误差
$$
J(\theta) = \frac{1}{2m}\sum_{i = 0} ^m(y^i - h_\theta (x^i))^2
$$

批量梯度下降

$$ \frac{\partial J(\theta)}{\partial\theta_j}=-\frac1m\sum_{i=0}^m(y^i-h_\theta(x^i))x^i_j $$

# 批量梯度下降
$$
\frac{\partial J(\theta)}{\partial\theta_j}=-\frac1m\sum_{i=0}^m(y^i-h_\theta(x^i))x^i_j
$$

推导过程
$$\begin{aligned}\frac{\partial J(\theta)}{\partial\theta_j}& = -\frac1m\sum_{i=0}^m(y^i-h_\theta(x^i)) \frac{\partial}{\partial\theta_j}(y^i-h_\theta(x^i)) \\& = -\frac1m\sum_{i=0}^m(y^i-h_\theta(x^i)) \frac{\partial}{\partial\theta_j}(\sum_{j=0}^n\theta_jx_j^i-y^i) \\& = -\frac1m\sum_{i=0}^m(y^i-h_\theta(x^i))x^i_j\end{aligned}$$

# 推导过程
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial J(\theta)}{\partial\theta_j}
& = -\frac1m\sum_{i=0}^m(y^i-h_\theta(x^i)) \frac{\partial}{\partial\theta_j}(y^i-h_\theta(x^i)) \\
& = -\frac1m\sum_{i=0}^m(y^i-h_\theta(x^i)) \frac{\partial}{\partial\theta_j}(\sum_{j=0}^n\theta_jx_j^i-y^i) \\
& = -\frac1m\sum_{i=0}^m(y^i-h_\theta(x^i))x^i_j
\end{aligned}
$$

case 环境的使用
$$a = \begin{cases} \int x\, \mathrm{d} x\\ b^2 \end{cases}$$

# case环境的使用
$$
a =
   \begin{cases}
     \int x\, \mathrm{d} x\\
     b^2
   \end{cases}
$$

带方框的等式
$$\begin{aligned} \boxed{x^2+y^2 = z^2}\end{aligned}$$

# 带方框的等式
$$
\begin{aligned}
 \boxed{x^2+y^2 = z^2}
\end{aligned}
$$

最大（最小）操作符
$$\begin{gathered}\operatorname{arg\,max}_a f(a) = \operatorname{* arg\,max}_b f(b) \\ \operatorname{arg\,min}_c f(c) = \operatorname{* arg\,min}_d f(d)\end{gathered}$$

$$
\begin{gathered}
\operatorname{arg\,max}_a f(a)
 = \operatorname{* arg\,max}_b f(b) \\
 \operatorname{arg\,min}_c f(c)
 = \operatorname{* arg\,min}_d f(d)
\end{gathered}
$$

求极限
$$\begin{aligned} \lim_{a\to \infty} \tfrac{1}{a}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \lim\nolimits_{a\to \infty} \tfrac{1}{a}\end{aligned}$$

$$
\begin{aligned}
  \lim_{a\to \infty} \tfrac{1}{a}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
   \lim\nolimits_{a\to \infty} \tfrac{1}{a}
\end{aligned}
$$

求积分
$$\begin{aligned} \int_a^b x^2 \mathrm{d} x\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \int\limits_a^b x^2 \mathrm{d} x\end{aligned}$$

$$
\begin{aligned}
   \int_a^b x^2  \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
   \int\limits_a^b x^2  \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$

使用\[2ex]  代替\  使分组的垂直间隔增大。

数学算式：
$$y=\begin{cases}-x,\quad x\leq 0 \\[2ex]x, \quad x>0\end{cases}\tag{1}$$ Markdown 公式：

$$
y=
\begin{cases}
-x,\quad x\leq 0 \\[2ex]
x, \quad x>0
\end{cases}
\tag{1}
$$

# 多行表达公式

有时候需要将一行公式分多行进行显示，其中 \begin{aligned}  表示开始方程，\end{equation}  表示方程结束；使用 \\ 表示公式换行。 \begin{gather}表示环境设置。 &  表示对齐的位置。

数学算式：
$$\begin{aligned}J(\mathbf{w})&=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(f(\mathbf{x_i})-y_i)^2\\&=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m [f(\mathbf{x_i})]^2-2f(\mathbf{x_i)}y_i+y_i^2\end{aligned}$$ Markdown 公式：

$$
\begin{aligned}
J(\mathbf{w})&=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(f(\mathbf{x_i})-y_i)^2\\
&=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m [f(\mathbf{x_i})]^2-2f(\mathbf{x_i)}y_i+y_i^2
\end{aligned}
$$

常见公式环境

gathered 允许多行（多组）方程式在彼此之下设置并分配单个方程式编号
split 与 align *类似，但在另一个显示的数学环境中使用
aligned 与 align 类似，可以在其他数学环境中使用。
alignedat 与 alignat 类似，同样需要一个额外的参数来指定要设置的方程列数。

备注：  如果各个方程需要在某个字符处对齐（如等号对齐），只需在所有要对齐的字符前加上  &  符号。

数学算式：
$$\begin{aligned}J(\mathbf{θ})=-\frac{1}{m}∑_{i=1}^{m}y_ilogh_θ(x_i)+(1−y_i)log(1−h_θ(x_i))\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \left.\begin{aligned} B'&=-\partial \times E,\\ E'&=\partial \times B - 4\pi j, \end{aligned} \right\} \qquad \text{Maxwell's equations}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \sigma_1 &= x + y &\quad \sigma_2 &= \frac{x}{y} \\ \sigma_1' &= \frac{\partial x + y}{\partial x} & \sigma_2' &= \frac{\partial \frac{x}{y}}{\partial x}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}a_n&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,\mathrm{d}x\\&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^2\cos nx\,\mathrm{d}x\\[6pt]\end{aligned}$$

Markdown 公式：

$$
\begin{aligned}
J(\mathbf{θ})=-\frac{1}{m}∑_{i=1}^{m}y_ilogh_θ(x_i)+(1−y_i)log(1−h_θ(x_i))
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
 \left.\begin{aligned}
        B'&=-\partial \times E,\\         %加&指定对齐位置
        E'&=\partial \times B - 4\pi j,
       \end{aligned}
 \right\}                                 %加右}
 \qquad \text{Maxwell's equations}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
 \sigma_1 &= x + y  &\quad \sigma_2 &= \frac{x}{y} \\
 \sigma_1' &= \frac{\partial x + y}{\partial x} & \sigma_2'
    &= \frac{\partial \frac{x}{y}}{\partial x}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
a_n&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^2\cos nx\,\mathrm{d}x\\[6pt]
\end{aligned}
$$

公式编辑的编号设置

数学算式：
$$x^2+y^2=z^2 \tag{1$'$}$$ $$x^4+y^4=z^4 \tag{*} $$ $$x^5+y^5=z^5 \tag*{*}$$ $$x^6+y^6=z^6 \tag{1-1} $$ Markdown 公式：

$$
x^2+y^2=z^2 \tag{1$'$}
$$
$$
x^4+y^4=z^4 \tag{*}
$$
$$
x^5+y^5=z^5 \tag*{*}
$$
$$
x^6+y^6=z^6 \tag{1-1}
$$

矩阵

常见矩阵表现形式：

数学算式：
$$\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 &4\\ \end{pmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{Bmatrix}1 &2 \\ 3 & 4\\ \end{Bmatrix}$$ $$\begin{vmatrix}1 &2 \\ 3 &4\\ \end{vmatrix}$$ $$\begin{Vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{Vmatrix}$$ 元素省略可以使用\cdots  表示 ⋯，\ddots表示 ⋱ ，\vdots表示 ⋮ ，从而省略矩阵中的元素，如： $$\begin{pmatrix}1&a_1&a_1^2&\cdots&a_1^n\\1&a_2&a_2^2&\cdots&a_2^n\\\vdots&\vdots\vdots&\ddots&\vdots\\1&a_m&a_m^2&\cdots&a_m^n\\\end{pmatrix}$$

Markdown 公式：

$$\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 &4\\ \end{pmatrix}$$
$$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{bmatrix}$$
$$\begin{Bmatrix}1 &2 \\ 3 & 4\\ \end{Bmatrix}$$
$$\begin{vmatrix}1 &2 \\ 3 &4\\ \end{vmatrix}$$
$$\begin{Vmatrix}1 &  2 \\ 3 &  4\\ \end{Vmatrix}$$
$$\begin{pmatrix}1&a_1&a_1^2&\cdots&a_1^n\\1&a_2&a_2^2&\cdots&a_2^n\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&a_m&a_m^2&\cdots&a_m^n\\\end{pmatrix}
$$

为公式添加脚注编号使用：\tag{n},其中  $n$ 表示第 $n$ 个公式。

# 不带括号的矩阵

数学算式：
$$\begin{matrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9\end{matrix}\tag{1}$$ Markdown 公式：

$$
\begin{matrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{matrix}
\tag{1}
$$

# 带小括号的矩阵

数学算式：

$$\left(\begin{matrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9\end{matrix}\right)\tag{2}$$

Markdown 公式：

$$\left(
\begin{matrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{matrix}
\right)
\tag{2}
$$

# 带中括号的矩阵

数学算式：

$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9\end{matrix}\right]\tag{3}$$

Markdown 公式：

$$\left[
\begin{matrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{matrix}
\right]
\tag{3}
$$

# 带大括号的矩阵

数学算式：

$$\left\{\begin{matrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9\end{matrix}\right\}\tag{4}$$

Markdown 公式：

$$\left\{
\begin{matrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{matrix}
\right\}
\tag{4}
$$

# 带省略号的矩阵

数学算式：

$$\left[\begin{matrix}a & b & \cdots & a\\b & b & \cdots & b\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\c & c & \cdots & c\end{matrix}\right]\tag{5}$$

Markdown 公式：

$$
\left[
\begin{matrix}
a & b & \cdots & a\\
b & b & \cdots & b\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
c & c & \cdots & c
\end{matrix}
\right]
\tag{5}
$$

# 带横线/竖线分割的矩阵：

数学算式：

$$\left[\begin{array}{c|cc}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9\end{array}\right]\tag{6}$$

Markdown 公式：

$$
\left[
\begin{array}{c|cc}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{array}
\right]
\tag{6}
$$

横线用  \hline  分割，示例如下：

数学算式：

$$\left[ \begin{array}{c|cc} 1 & 2 & 3 \\ \hline 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right]\tag{7}$$

Markdown 公式：

$$
\left[
    \begin{array}{c|cc}
    1 & 2 & 3 \\ \hline
    4 & 5 & 6 \\
    7 & 8 & 9
    \end{array}
\right]
\tag{7}
$$

上下标符号

默认情况下，上、下标符号仅仅对下一个组起作用。一个组即单个字符或者使用{…}  包裹起来的内容。

括号

小括号与方括号

1. 使用原始的$( ) ， [   ]$得到的括号大小是固定的，如$( 2 + 3 ) [ 4 + 4 ] ( 2 + 3 ) [ 4 + 4 ] ( 2 + 3 ) [ 4 + 4 ]$：
2. 使用\left(或\right)可使括号大小与邻近的公式相适应（该语句适用于所有括号类型），如$\left(\frac{x}{y}\right)$：

增大括号的方法：

分式与根式

分式的表示方法：

1. 使用\frac{a}{b}表示分式，比如 a + c + 1 b + c + 2 \frac {a+c+1}{b+c+2}b+c+2a+c+1​；

2. 使用\over来分隔一个组的前后两部分，如 a + 1 b + 1 {a+1\over b+1}b+1a+1​;

3. 连分数，使用使用\cfrac代替\frac或者\over，两者效果对比如下：

\frac  表示连分式：

数学算式：
$$x=a_0 + \frac{1^2}{a_ 1+\frac{2^2}{a_2+\frac{3^2}{a_3+ \frac{4^2}{a_4+...}}}}$$

Markdown 公式：

$$x=a_0 + \frac{1^2}{a_ 1+\frac{2^2}{a_2+\frac{3^2}{a_3+ \frac{4^2}{a_4+...}}}}$$

\cfrac  表示连分式：

数学算式：

$$x=a_0 + \cfrac{1^2}{a_ 1+\cfrac{2^2}{a_2+\cfrac{3^2}{a_3+ \cfrac{4^2}{a_4+...}}}}$$

Markdown 公式：

$$x=a_0 + \cfrac{1^2}{a_ 1+\cfrac{2^2}{a_2+\cfrac{3^2}{a_3+ \cfrac{4^2}{a_4+...}}}}$$

\cfrac  表示连分式：

开方

累加/累乘

三角函数

对数函数

二元运算符

关系符号

极限

向量

模运算

模运算使用\pmod来表示。示例如下：

数学算式：

$a \equiv b \pmod n$

Markdown 公式：

$a \equiv b \pmod n$

箭头

集合

微积分

逻辑运算

希腊字母

空心字母与 Fraktur 字母

A-Z 皆可用

省略号

不同省略号的区别是点的位置不同，\ldots  位置稍低，\cdots  位置居中。

示例如下：

数学算式
$$ x_1, x_2, \dots, x_n \quad \quad 1, 2, \cdots, n \quad \quad \vdots \quad\quad \ddots $$

Markdown 公式

$$
x_1, x_2, \dots, x_n \quad \quad 1, 2, \cdots, n \quad \quad \vdots \quad\quad \ddots
$$

空格

上表中的 em 是指当前文本中文本的字体尺寸

其他符号

表格格式设置

一般使用  |--|--|，这样的形式来创建表格。 这里介绍的是如何在数学公式块中用一种更为自由的方式创建表格：

1. 列样式可以是c，l，r  分别表示居中，左，右对齐；
2. 使用  |  表示一条竖线；
3. 表格中各行使用\\  分隔，各列使用&  分隔；
4. 使用\hline  在本行前加入一条直线。

$$\begin{array}{c|lcr} \hline No. & \text{左对齐} & \text{居中对齐} & \text{右对齐} \\ \hline 1 & \text{test one} & 121 & 100 \\ 2 & \text{test two} & 12321 & 2 \\ 3 & \text{test three} & 1 & 42 \\\end{array}$$

$$
\begin{array}{c|lcr}
	\hline
	 No. & \text{左对齐} & \text{居中对齐} & \text{右对齐} \\
  \hline
	 1 & \text{test one} & 121 & 100 \\
	 2 & \text{test two} & 12321 & 2 \\
	 3 & \text{test three} & 1 & 42 \\
\end{array}
$$

参考文章：​史上最全 Markdown 公式、符号总结！！！-CSDN 博客 在此之上进行补充修改